จำนวนเต็ม

ชนิดของจำนวนเต็ม มี 3  ชนิด  คือ

1. จำนวนเต็มบวก  หรือ  จำนวนนับ  หรือ  จำนวนธรรมชาติ  ได้แก่  1, 2, 3, 4, 5,….

2.  จำนวนเต็มศูนย์  ได้แก่  0

3.  จำนวนเต็มลบ  ได้แก่  -1, -2, -3, -4, -5,……

จำนวนเต็ม  จึงแบ่งได้เป็น  จำนวนเต็มบวก  จำนวนเต็มศูนย์  จำนวนเต็มลบ  ได้แก่  …, – 5, – 4, -3, -2, -1, 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 ,…..  ซึ่งสามารถแสดงบนเส้นจำนวนได้ดังนี้

จำนวนบนเส้นจำนวน  จำนวนที่อยู่ซ้ายมือจะมีค่าน้อยกว่าจำนวนที่อยู่ทางขวามือ                     

ดังจะได้ว่า    ….< -5 < – 4 < -3 < -2 < -1 < 0 < 1 < 2 < 3 < 4 < 5…..

ค่าสัมบูรณ์

ค่าสมบูรณ์คือระยะทางจาก 0 ถึง a บนเส้นจำนวน ใช้สัญลักษณ์  |   |  แทน  ค่าสัมบูรณ์ของจำนวนเต็ม  a  คือระยะทางจาก  0  ถึง  a บนเส้นจำนวน  | a |  อ่านว่าค่าสัมบูรณ์ของ  a

จากรูปจะเห็นได้ว่า    | 4 |   =    4 ,   | -4 |  =    4 ,   | 0 |   =    0

จำนวนเต็ม a ใดๆ    | a |   = | – a |
เรียก a ว่าจำนวนตรงข้ามของ  -a และเรียก  -a  จำนวนตรงข้ามของ  a

สมบัติบางประการของจำนวนเต็มบวก

1.  สมบัติการสลับที่สำหรับการบวก   สำหรับจำนวนเต็มบวก  a  และ  b  ใดๆ

จะได้ว่า  a  +  b   =    b  +  a

2.  สมบัติการสลับที่สำหรับการคูณ   สำหรับจำนวนเต็มบวก  a  และ  b  ใดๆ

จะได้ว่า  a • b   =    b • a

3.  สมบัติการเปลี่ยนกลุ่มสำหรับการบวก     สำหรับจำนวนเต็มบวก  a  , b  และ  c   ใดๆ
จะได้ว่า  (a + b) + c    =   a + (b + c)

4.  สมบัติการเปลี่ยนกลุ่มสำหรับการคูณ    สำหรับจำนวนเต็มบวก  a  , b  และ  c   ใดๆ
จะได้ว่า  (a • b) • c    =   a • (b • c)

5.  สมบัติการแจกแจง    สำหรับจำนวนเต็มบวก a  , b และ  c ใดๆ
จะได้ว่า  a • (b + c)   =  (a • b)  +  (a • c)

6.  สมบัติของหนึ่ง       สำหรับจำนวนเต็มบวก  a  ใดๆ
จะได้ว่า  1 x  a   =   a   =   a  x 1



7.  สมบัติของศูนย์สำหรับจำนวนเต็มบวก  a  ใดๆ

จะได้ว่า   a  +  0   =   a   =   0  +  a
a  x 0   =   0   =   0 x  a

 แต่    จะไม่มีความหมาย

1. การบวกจำนวนเต็ม

การบวกจำนวนเต็มชนิดเดียวกัน

หลักการ คือ ให้นำค่าสัมบูรณ์ของจำนวนเต็มนั้นมาบวกกัน ผลลัพธ์ที่ได้จะเป็นจำนวนเต็มบวกหรือจำนวนเต็มลบตามชนิดของจำนวนที่นำมาบวกกัน

1. การบวกจำนวนเต็มบวกกับจำนวนเต็มบวก

ตัวอย่าง       10 + 12 = ?

ค่าสัมบูรณ์ของ 10 หรือ |10| = 10

ค่าสัมบูรณ์ของ 12 หรือ |12| = 12

ดังนั้น |10| + |12| = 10 + 12 = 22

นั่นคือ 10 + 12 = 22

2. การบวกจำนวนเต็มลบกับจำนวนเต็มลบ

หลักการ คือ นำค่าสัมบูรณ์มาบวกกัน ผลลัพธ์ที่ได้จะเป็นจำนวนเต็มลบ

ตัวอย่าง       (-15) + (-20) = ?

ค่าสัมบูรณ์ของ -15 หรือ |-15| = 15

ค่าสัมบูรณ์ของ -20 หรือ |-20| = 20

ดังนั้น |15| + |20| = 15 + 20 = 35

แต่ผลลัพธ์ที่ได้ต้องเป็นจำนวนเต็มลบ ดังนั้น (-15) + (-20) = -35

สรุป

1. การบวกจำนวนเต็มบวกกับจำนวนเต็มบวก คือ การนำค่าสัมบูรณ์มาบวกกัน ผลลัพธ์ที่ได้เป็นจำนวนเต็มบวก

2. การบวกจำนวนเต็มลบกับจำนวนเต็มลบ คือ การนำค่าสัมบูรณ์มาบวกกัน ผลลัพธ์ที่ได้เป็นจำนวนเต็มลบ

การบวกจำนวนเต็มต่างชนิดกัน

หลักการ คือ ให้นำค่าสัมบูรณ์ของจำนวนเต็มทั้งสองนั้นมาลบกันและผล ลัพธ์จะเป็น จำนวนเต็มบวกหรือจำนวนเต็มลบตามจำนวนที่มีค่าสัมบูรณ์มาก

ตัวอย่าง       -9 + 5 = ?

ค่าสัมบูรณ์ของ -9 หรือ |-9| = 9

ค่าสัมบูรณ์ของ 5 หรือ |5| = 5

นำค่าสัมบูรณ์ที่มากกว่าเป็นตัวตั้งแล้วลบด้วยค่าสัมบูรณ์ที่น้อยกว่า

จะได้ |-9| - |5| = 9 – 5= 4

ผลลัพธ์ที่ได้เป็นจำนวนเต็มลบ

ตามจำนวนที่มีค่าสัมบูรณ์มากกว่า ดังนั้น (-9) + 5 = -4

สรุป การบวกจำนวนเต็มต่างชนิดกัน คือการนำเอาจำนวนที่มีค่าสัมบูรณ์มากกว่าเป็นตัวตั้ง

แล้วลบส่วนที่มีค่าสัมบูรณ์น้อยกว่า ผลลัพธ์ที่ได้ เป็นจำนวนเต็มบวก หรือจำนวนเต็มลบ ตามจำนวนที่มีค่าสัมบูรณ์มากกว่า

2. การลบจำนวนเต็ม

การลบจำนวนเต็มมีข้อตกลงดังนี้

ตัวตั้ง – ตัวลบ = ตัวตั้ง + จำนวนตรงข้ามของตัวลบ

เมื่อ a และ b แทนจำนวนเต็มใด ๆ a – b = a + จำนวนตรงข้ามของ b

หรือ a - b = a + (-b)

ถ้าเราพิจารณาผลลัพธ์ของ 5 - 3 และ 5 + ( -3 )

เราจะพบว่า 5 - 3 = 2 และ 5 + ( -3 ) = 2

นั้นคือ 5 - 3 = 5 + (-3)

แสดงว่า การลบจำนวนเต็มเราสามารถหาได้ในรูปของการบวก

ถ้าเราสังเกต 3 และ -3 เราจะเห็นว่า จำนวนดังกล่าวเป็นจำนวนตรงข้ามซึ่งกันและกัน

จึงสรุปได้ว่า

ตัวตั้ง - ตัวลบ = ตัวตั้ง + จำนวนตรงข้ามของตัวลบ

หมายเหตุ การเปลี่ยนรูปแบบในการลบจำนวนเต็มในรูปของการบวก

3. การคูณจำนวนเต็ม

การคูณจำนวนเต็มบวกกับจำนวนเต็มบวก

3 x 3 = ?

โดยที่ 3 x 3 หมายถึง 3 + 3 + 3 ซึ่งมีค่าเท่ากับ 9

สรุป

1. การคูณจำนวนเต็มบวกกับจำนวนเต็มบวก มีผลคูณเป็นจำนวนเต็มบวกที่มีค่าสัมบูรณ์เท่ากับผลคูณของค่าสัมบูรณ์ของสองจำนวนนั้น

2. การคูณจำนวนเต็มลบกับจำนวนเต็มลบการคูณจำนวนเต็มลบกับจำนวนเต็มลบ ผลคูณเป็นจำนวนเต็มบวกที่มีค่าสัมบูรณ์เท่ากับผลคูณของค่าสัมบูรณ์ของจำนวนทั้งสองนั้น

3. การคูณจำนวนเต็มลบกับจำนวนเต็มบวกการหาผลคูณของจำนวนเต็มลบกับจำนวนเต็มบวก ให้ใช้สมบัติการสลับที่แล้วใช้วิธีการเดียวกับการคูณจำนวนเต็มบวกกับจำนวนเต็มลบ

ดังนั้น การคูณของจำนวนเต็มลบกับจำนวนเต็มบวก ผลคูณจะเป็นจำนวนเต็มลบที่มีค่าสัมบูรณ์เท่ากับผลคูณของค่าสัมบูรณ์ของจำนวนทั้งสองนั้น

4. การคูณจำนวนเต็มบวกกับจำนวนเต็มลบ  การหาผลคูณของจำนวนเต็มบวกกับจำนวนเต็มลบ ให้ใช้สมบัติการสลับที่แล้วใช้วิธีการเดียวกับการคูณจำนวนเต็มลบกับจำนวนเต็มบวก

ดังนั้น การคูณของจำนวนเต็มบวกกับจำนวนเต็มลบ ผลคูณจะเป็นจำนวนเต็มลบที่มีค่าสัมบูรณ์เท่ากับผลคูณของค่าสัมบูรณ์ของจำนวนทั้งสองนั้น

4. การหารจำนวนเต็ม

เมื่อ a , b และ c แทนจำนวนเต็มใดๆที่ b ไม่เท่ากับ 0

ถ้า a ÷ b = c แล้ว a = b x c และ ถ้า a = b x c แล้ว a ÷ b = c

ซึ่งในทางคณิตศาสตร์อาจเขียน a ÷ b แทนด้วย

1. การหารจำนวนเต็มบวกด้วยจำนวนเต็มบวก

หลักการ การหารจำนวนเต็มบวกด้วยจำนวนเต็มบวก ผลลัพธ์เป็นจำนวนเต็มบวก

2. การหารจำนวนเต็มบวกด้วยจำนวนเต็มลบหรือการหารจำนวนเต็มลบด้วยจำนวนเต็มบวก

หลักการ การหารจำนวนเต็มบวกด้วยจำนวนเต็มลบหรือการหารจำนวนเต็มลบด้วยจำนวนเต็มบวก ผลลัพธ์ที่ได้เป็นจำนวนเต็มลบ

3. การหารจำนวนเต็มลบด้วยจำนวนเต็มลบ

หลักการ การหารจำนวนเต็มลบด้วยจำนวนเต็มลบ ผลลัพธ์ที่ได้เป็นจำนวนเต็มบวก